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正则化

欢迎来到本周的第二项任务。深度学习模型具有如此大的灵活性和容量，如果训练数据集不够大，过度拟合可能是一个严重的问题。你将学会:在你的深度学习模型中使用正则化。

让我们首先导入您将要使用的包。

# import packagesimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom reg_utils import sigmoid, relu, plot_decision_boundary, initialize_parameters, load_2D_dataset, predict_decfrom reg_utils import compute_cost, predict, forward_propagation, backward_propagation, update_parametersimport sklearnimport sklearn.datasetsimport scipy.iofrom testCases import *%matplotlib inlineplt.rcParams['figure.figsize'] = (7.0, 4.0) # set default size of plotsplt.rcParams['image.interpolation'] = 'nearest'plt.rcParams['image.cmap'] = 'gray'

问题陈述:假设你现在是一个AI专家，你需要设计一个模型，可以用于推荐在足球场中守门员将球发至哪个位置可以让本队的球员抢到球的可能性更大。说白了，实际上就是一个二分类，一半是己方抢到球，一半就是对方抢到球，我们来看一下这个图：

嘿，给你以下法国过去10场比赛的2D数据集。

train_X, train_Y, test_X, test_Y = load_2D_dataset()

每个点对应于足球场上的一个位置，在这个位置上，在法国守门员从足球场左侧射门后，足球运动员用他/她的头击球。

• 如果圆点是蓝色的，这意味着法国球员设法用他/她的头击球
• 如果圆点是红色的，这意味着另一队的球员用他们的头击球

你的目标:使用深度学习模式来找到守门员应该踢球的位置。

数据集分析:该数据集有一点噪声，但它看起来像一条将左上半部分(蓝色)和右下半部分(红色)分开的对角线，效果会很好。 您将首先尝试一个非正则模型。然后你将学习如何规范它，并决定你将选择哪种模式来解决法国足球公司的问题。

 

1 -非正则化模型

您将使用以下神经网络(下面已经为您实现)。该模型可用于:

• 在正则化模式下：通过将 lambd 输入设置为非零值。我们用“lambd”代替“lambda”，因为“lambda”是Python中的保留关键字。
• 在dropout模式下：通过将keep_prob设置为小于1的值

您将首先尝试没有任何正则化的模型。然后，您将实现:

• L2-正则化函数："compute_cost_with_regularization()" 和 "backward_propagation_with_regularization()"
• dropout-函数："forward_propagation_with_dropout()" 和 "backward_propagation_with_dropout()"

在每个部分中，您将使用正确的输入运行这个模型，以便它调用您已经实现的函数。请看下面的代码来熟悉这个模型。

def model(X, Y, learning_rate = 0.3, num_iterations = 30000, print_cost = True, lambd = 0, keep_prob = 1):    """    实现一个三层的神经网络：LINEAR ->RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID    参数：        X - 输入的数据，维度为(2, 要训练/测试的数量)        Y - 标签，【0(蓝色) | 1(红色)】，维度为(1，对应的是输入的数据的标签)        learning_rate - 学习速率        num_iterations - 迭代的次数        print_cost - 是否打印成本值，每迭代10000次打印一次，但是每1000次记录一个成本值        is_polt - 是否绘制梯度下降的曲线图        lambd - 正则化的超参数，实数        keep_prob - 随机删除节点的概率    返回        parameters - 学习后的参数    """            grads = {}    costs = []                            # to keep track of the cost    m = X.shape[1]                        # number of examples    layers_dims = [X.shape[0], 20, 3, 1]        # 初始化参数字典    parameters = initialize_parameters(layers_dims)    # 循环 (梯度下降)    for i in range(0, num_iterations):        # 前向传播: LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID.        if keep_prob == 1:            a3, cache = forward_propagation(X, parameters)        elif keep_prob < 1:            a3, cache = forward_propagation_with_dropout(X, parameters, keep_prob)                # Cost function        if lambd == 0:            cost = compute_cost(a3, Y)        else:            cost = compute_cost_with_regularization(a3, Y, parameters, lambd)                    # 反向传播        assert(lambd==0 or keep_prob==1)    # it is possible to use both L2 regularization and dropout,                                             # but this assignment will only explore one at a time        if lambd == 0 and keep_prob == 1:            grads = backward_propagation(X, Y, cache)        elif lambd != 0:            grads = backward_propagation_with_regularization(X, Y, cache, lambd)        elif keep_prob < 1:            grads = backward_propagation_with_dropout(X, Y, cache, keep_prob)                # 更新参数        parameters = update_parameters(parameters, grads, learning_rate)                # Print the loss every 10000 iterations        if print_cost and i % 10000 == 0:            print("Cost after iteration {}: {}".format(i, cost))        if print_cost and i % 1000 == 0:            costs.append(cost)        # 绘制代价    plt.plot(costs)    plt.ylabel('cost')    plt.xlabel('iterations (x1,000)')    plt.title("Learning rate =" + str(learning_rate))    plt.show()        return parameters

让我们在没有任何正则化的情况下训练模型，并观察训练/测试集的准确性。

parameters = model(train_X, train_Y)print ("On the training set:")predictions_train = predict(train_X, train_Y, parameters)print ("On the test set:")predictions_test = predict(test_X, test_Y, parameters)

结果：

Cost after iteration 0: 0.6557412523481002Cost after iteration 10000: 0.16329987525724213Cost after iteration 20000: 0.1385164242326018

On the training set:Accuracy: 0.9478672985781991On the test set:Accuracy: 0.915

训练精度为94.8%，测试精度为91.5%。这是基线模型(您将观察正则化对该模型的影响)。运行以下代码绘制模型的决策边界。

plt.title("Model without regularization")axes = plt.gca()axes.set_xlim([-0.75,0.40])axes.set_ylim([-0.75,0.65])plot_decision_boundary(lambda x: predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y.flatten())

结果：

非正则化模型明显过度拟合训练集。它适合带噪声的点！现在让我们来看两种减少过度拟合的技术。

 

2 - L2正则化

避免过度拟合的标准方法叫做L2正则化。它包括适当修改您的成本函数，我们从原来的成本函数(1)到现在的函数(2)

np.sum(np.square(Wl))

练习:用正则化方法实现计算成本()

# GRADED FUNCTION: compute_cost_with_regularizationdef compute_cost_with_regularization(A3, Y, parameters, lambd):    """    实现公式2的L2正则化计算成本    参数：        A3 - 正向传播的输出结果，维度为（输出节点数量，训练/测试的数量）        Y - 标签向量，与数据一一对应，维度为(输出节点数量，训练/测试的数量)        parameters - 包含模型学习后的参数的字典    返回：        cost - 使用公式2计算出来的正则化损失的值    """    m = Y.shape[1]    W1 = parameters["W1"]    W2 = parameters["W2"]    W3 = parameters["W3"]        cross_entropy_cost = compute_cost(A3, Y) # This gives you the cross-entropy part of the cost        ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)    L2_regularization_cost = lambd * (np.sum(np.square(W1)) + np.sum(np.square(W2))  + np.sum(np.square(W3))) / (2 * m)    ### END CODER HERE ###        cost = cross_entropy_cost + L2_regularization_cost        return cost

测试：

A3, Y_assess, parameters = compute_cost_with_regularization_test_case()print("cost = " + str(compute_cost_with_regularization(A3, Y_assess, parameters, lambd = 0.1)))

结果：

cost = 1.7864859451590758

当然，因为你改变了成本，你也必须改变反向传播！所有梯度都必须根据这一新成本进行计算。

练习:实现反向传播所需的改变，以考虑正则化。更改仅涉及dW1、dW2和dW3。对于每种情况，您必须添加正则项的梯度

# GRADED FUNCTION: backward_propagation_with_regularizationdef backward_propagation_with_regularization(X, Y, cache, lambd):    """    实现我们添加了L2正则化的模型的后向传播。    参数：        X - 输入数据集，维度为（输入节点数量，数据集里面的数量）        Y - 标签，维度为（输出节点数量，数据集里面的数量）        cache - 来自forward_propagation（）的cache输出        lambda - regularization超参数，实数    返回：        gradients - 一个包含了每个参数、激活值和预激活值变量的梯度的字典    """        m = X.shape[1]    (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache        dZ3 = A3 - Y        ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)    dW3 = 1./m * np.dot(dZ3, A2.T) + (lambd * W3) / m    ### END CODE HERE ###    db3 = 1./m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims = True)        dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)    dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))    ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)    dW2 = 1./m * np.dot(dZ2, A1.T) + (lambd * W2) / m    ### END CODE HERE ###    db2 = 1./m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims = True)        dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)    dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))    ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)    dW1 = 1./m * np.dot(dZ1, X.T) + (lambd * W1) / m    ### END CODE HERE ###    db1 = 1./m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims = True)        gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,"dA2": dA2,                 "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2, "dA1": dA1,                  "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}        return gradients

测试：

X_assess, Y_assess, cache = backward_propagation_with_regularization_test_case()grads = backward_propagation_with_regularization(X_assess, Y_assess, cache, lambd = 0.7)print ("dW1 = "+ str(grads["dW1"]))print ("dW2 = "+ str(grads["dW2"]))print ("dW3 = "+ str(grads["dW3"]))

结果：

dW1 = [[-0.25604646  0.12298827 -0.28297129] [-0.17706303  0.34536094 -0.4410571 ]]dW2 = [[ 0.79276486  0.85133918] [-0.0957219  -0.01720463] [-0.13100772 -0.03750433]]dW3 = [[-1.77691347 -0.11832879 -0.09397446]]

现在让我们用L2正则化(λ=0.7)运行模型。model()函数将调用:

• compute_cost_with_regularization 代替 compute_cost
• backward_propagation_with_regularization 代替 backward_propagation

parameters = model(train_X, train_Y, lambd = 0.7)print ("On the train set:")predictions_train = predict(train_X, train_Y, parameters)print ("On the test set:")predictions_test = predict(test_X, test_Y, parameters)

结果：

Cost after iteration 0: 0.6974484493131264Cost after iteration 10000: 0.2684918873282239Cost after iteration 20000: 0.2680916337127301

On the train set:Accuracy: 0.9383886255924171On the test set:Accuracy: 0.93

恭喜，测试集准确率提高到93%。你拯救了法国足球队！ 你不再过度拟合训练数据了。让我们画出决策边界。

plt.title("Model with L2-regularization")axes = plt.gca()axes.set_xlim([-0.75,0.40])axes.set_ylim([-0.75,0.65])plot_decision_boundary(lambda x: predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y.flatten())

结果：

观察:

• λ的值是一个超参数，您可以使用dev集进行调整。
• L2正则化使你的决策边界更加平滑。如果λ太大，也有可能“过拟合”，导致模型具有高偏差。

L2正规化到底在做什么？

L2正则化依赖于较小权重的模型比具有较大权重的模型更简单这样的假设，因此，通过削减成本函数中权重的平方值，可以将所有权重值逐渐改变到到较小的值。权值数值高的话会有更平滑的模型，其中输入变化时输出变化更慢，但是你需要花费更多的时间。L2正则化对以下内容有影响：

• 成本计算       ： 正则化的计算需要添加到成本函数中
• 反向传播功能     ：在权重矩阵方面，梯度计算时也要依据正则化来做出相应的计算
• 重量变小（“重量衰减”) ：权重被逐渐改变到较小的值。
   

3 -Dropout

最后，dropout 是一种广泛使用的正则化技术，专门用于深度学习。Dropout的原理就是每次迭代过程中随机将其中的一些节点失效。当我们关闭一些节点时，我们实际上修改了我们的模型。背后的想法是，在每次迭代时，我们都会训练一个只使用一部分神经元的不同模型。随着迭代次数的增加，我们的模型的节点会对其他特定节点的激活变得不那么敏感，因为其他节点可能在任何时候会失效。我们来看看下面两个GIF图：

在每一次迭代中，关闭（设置为零）一层的每个神经元，概率为1−keep_prob1−keep_prob，我们在这里保持概率为keep_probkeep_prob（这里为50％）。丢弃的节点都不参与迭代时的前向和后向传播。

 

3.1 -带Dropout的正向传播

练习:实现带丢弃的正向传播。

您使用的是一个3层神经网络，将会在第一层和第二层隐藏层中添加dropout。我们不会将dropout应用于输入层或输出层。

# GRADED FUNCTION: forward_propagation_with_dropoutdef forward_propagation_with_dropout(X, parameters, keep_prob = 0.5):    """    实现具有随机舍弃节点的前向传播。    LINEAR -> RELU + DROPOUT -> LINEAR -> RELU + DROPOUT -> LINEAR -> SIGMOID.    参数：        X  - 输入数据集，维度为（2，示例数）        parameters - 包含参数“W1”，“b1”，“W2”，“b2”，“W3”，“b3”的python字典：            W1  - 权重矩阵，维度为（20,2）            b1  - 偏向量，维度为（20,1）            W2  - 权重矩阵，维度为（3,20）            b2  - 偏向量，维度为（3,1）            W3  - 权重矩阵，维度为（1,3）            b3  - 偏向量，维度为（1,1）        keep_prob  - 随机删除的概率，实数    返回：        A3  - 最后的激活值，维度为（1,1），正向传播的输出        cache - 存储了一些用于计算反向传播的数值的元组    """        np.random.seed(1)        # retrieve parameters    W1 = parameters["W1"]    b1 = parameters["b1"]    W2 = parameters["W2"]    b2 = parameters["b2"]    W3 = parameters["W3"]    b3 = parameters["b3"]        # LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID    Z1 = np.dot(W1, X) + b1    A1 = relu(Z1)    ### START CODE HERE ### (approx. 4 lines)             # 下面的步骤1-4对应于上述的步骤1-4    D1 = np.random.rand(A1.shape[0],A1.shape[1])     #步骤1：初始化矩阵D1 = np.random.rand(..., ...)    D1 = D1 < keep_prob          #步骤2：将D1的值转换为0或1（使​​用keep_prob作为阈值）    A1 = A1 * D1                 #步骤3：舍弃A1的一些节点（将它的值变为0或False）    A1 = A1 / keep_prob          #步骤4：缩放未舍弃的节点(不为0)的值    ### END CODE HERE ###    Z2 = np.dot(W2, A1) + b2    A2 = relu(Z2)    ### START CODE HERE ### (approx. 4 lines)    D2 = np.random.rand(A2.shape[0],A2.shape[1])     #步骤1：初始化矩阵D2 = np.random.rand(..., ...)    D2 = D2 < keep_prob          #步骤2：将D2的值转换为0或1（使​​用keep_prob作为阈值）    A2 = A2 * D2                 #步骤3：舍弃A1的一些节点（将它的值变为0或False）    A2 = A2 / keep_prob          #步骤4：缩放未舍弃的节点(不为0)的值    ### END CODE HERE ###    Z3 = np.dot(W3, A2) + b3    A3 = sigmoid(Z3)        cache = (Z1, D1, A1, W1, b1, Z2, D2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3)        return A3, cache

测试：

X_assess, parameters = forward_propagation_with_dropout_test_case()A3, cache = forward_propagation_with_dropout(X_assess, parameters, keep_prob = 0.7)print ("A3 = " + str(A3))

结果：

A3 = [[0.36974721 0.00305176 0.04565099 0.49683389 0.36974721]]

 

3.2 -带Dropout的反向传播

练习:实现带Dropout的反向传播。

和以前一样，您正在训练一个三层网络。使用存储在缓存中的掩码D[1] 和 D[2]将舍弃的节点位置信息添加到第一个和第二个隐藏层。

# GRADED FUNCTION: backward_propagation_with_dropoutdef backward_propagation_with_dropout(X, Y, cache, keep_prob):    """    实现我们随机删除的模型的后向传播。    参数：        X  - 输入数据集，维度为（2，示例数）        Y  - 标签，维度为（输出节点数量，示例数量）        cache - 来自forward_propagation_with_dropout（）的cache输出        keep_prob  - 随机删除的概率，实数    返回：        gradients - 一个关于每个参数、激活值和预激活变量的梯度值的字典    """        m = X.shape[1]    (Z1, D1, A1, W1, b1, Z2, D2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache        dZ3 = A3 - Y    dW3 = 1./m * np.dot(dZ3, A2.T)    db3 = 1./m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims = True)    dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)    dA2 = dA2 * D2              # 步骤1：使用正向传播期间相同的节点，舍弃那些关闭的节点（因为任何数乘以0或者False都为0或者False）    dA2 = dA2 / keep_prob       # 步骤2：缩放未舍弃的节点(不为0)的值    ### END CODE HERE ###    dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))    dW2 = 1./m * np.dot(dZ2, A1.T)    db2 = 1./m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims = True)        dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)    dA1 = dA1 * D1              # 步骤1：使用正向传播期间相同的节点，舍弃那些关闭的节点（因为任何数乘以0或者False都为0或者False）    dA1 = dA1 / keep_prob       # 步骤2：缩放未舍弃的节点(不为0)的值    ### END CODE HERE ###    dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))    dW1 = 1./m * np.dot(dZ1, X.T)    db1 = 1./m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims = True)        gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,"dA2": dA2,                 "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2, "dA1": dA1,                  "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}        return gradients

测试：

X_assess, Y_assess, cache = backward_propagation_with_dropout_test_case()gradients = backward_propagation_with_dropout(X_assess, Y_assess, cache, keep_prob = 0.8)print ("dA1 = " + str(gradients["dA1"]))print ("dA2 = " + str(gradients["dA2"]))

结果：

dA1 = [[ 0.36544439  0.         -0.00188233  0.         -0.17408748] [ 0.65515713  0.         -0.00337459  0.         -0.        ]]dA2 = [[ 0.58180856  0.         -0.00299679  0.         -0.27715731] [ 0.          0.53159854 -0.          0.53159854 -0.34089673] [ 0.          0.         -0.00292733  0.         -0.        ]]

现在让我们运行带有dropout的模型(keep_prob = 0.86)。这意味着在每次迭代中，你以24%的概率关闭第1层和第2层的每个神经元。函数model()现在将调用:

• forward_propagation_with_dropout 代替 forward_propagation.
• backward_propagation_with_dropout 代替 backward_propagation.

parameters = model(train_X, train_Y, keep_prob = 0.86, learning_rate = 0.3)print ("On the train set:")predictions_train = predict(train_X, train_Y, parameters)print ("On the test set:")predictions_test = predict(test_X, test_Y, parameters)

结果：

Cost after iteration 0: 0.6543912405149825Cost after iteration 10000: 0.061016986574905605Cost after iteration 20000: 0.060582435798513114

On the train set:Accuracy: 0.9289099526066351On the test set:Accuracy: 0.95

Dropout表现地很好！测试精度再次提高(达到95%)！你的模型没有过度拟合训练集，并且在测试集上做得很好。法国足球队将永远感谢你！ 运行下面的代码来绘制决策边界。

plt.title("Model with dropout")axes = plt.gca()axes.set_xlim([-0.75,0.40])axes.set_ylim([-0.75,0.65])plot_decision_boundary(lambda x: predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y.flatten())

结果：

 

4 -结论

以下是我们三个模型的结果:

模型	训练准确度	测试准确度
未正则化的三层神经网络	95%	91.5%
正则化的三层神经网络	94%	93%
带dropout的三层神经网络	93%	95%

请注意，正则化会损害训练集的性能！这是因为它限制了网络向训练集拟合的能力。但是因为它最终给出了更好的测试精度，它帮助了你的系统。 祝贺你完成这项任务！

转载地址：http://hpuvi.baihongyu.com/